إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.

الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين…

في الرياضيات، يُعد الضرب الداخلي عملية رياضية تُستخدم لإيجاد طول المتجه وإسقاط أحد المتجهات على الآخر. وهو أداة قوية تُستخدم في العديد من التطبيقات، مثل الهندسة والفيزياء وعلوم الكمبيوتر. في هذه المقالة، سنستكشف الضرب الداخلي للمتجهين، ونحدد متى يكون ناتجه سالبًا أو موجبًا أو صفريًا.

تعريف الضرب الداخلي

الضرب الداخلي لمتجهين a و b، يُرمز له بـ a · b، هو عملية رياضية تُعطي قيمة عددية. يُعرّف الضرب الداخلي على النحو التالي:

“`

a · b = ||a|| ||b|| cos θ

“`

حيث:

||a|| و ||b|| هما أطوال المتجهين a و b على التوالي.

θ هي الزاوية بين المتجهين a و b.

متى يكون ناتج الضرب الداخلي سالبًا

يكون ناتج الضرب الداخلي سالبًا عندما تكون الزاوية θ بين المتجهين a و b أكبر من 90 درجة ولكنها أقل من 180 درجة. وهذا يعني أن المتجهين يشيران في اتجاهين متعاكسين.

متى يكون ناتج الضرب الداخلي موجبًا

يكون ناتج الضرب الداخلي موجبًا عندما تكون الزاوية θ بين المتجهين a و b أقل من 90 درجة. وهذا يعني أن المتجهين يشيران في نفس الاتجاه العام.

متى يكون ناتج الضرب الداخلي صفريًا

يكون ناتج الضرب الداخلي صفريًا في الحالات التالية:

عندما يكون أحد المتجهين a أو b متجهًا صفريًا.

عندما تكون الزاوية θ بين المتجهين a و b تساوي 90 درجة. وهذا يعني أن المتجهين متعامدان.

عندما تكون المتجهات a و b متوازيتين ومتجهين في نفس الاتجاه.

تطبيقات الضرب الداخلي

يُستخدم الضرب الداخلي في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:

حساب طول المتجه: يُستخدم الضرب الداخلي لإيجاد طول المتجه a على النحو التالي:

“`

||a|| = √(a · a)

“`

إيجاد إسقاط متجه على آخر: يُستخدم الضرب الداخلي لإيجاد إسقاط المتجه a على متجه الوحدة u على النحو التالي:

“`

proj_u a = (a · u) u

“`

حساب العمل: يُستخدم الضرب الداخلي لحساب العمل المُنجز بواسطة القوة F على طول الإزاحة d على النحو التالي:

“`

W = F · d

“`

خصائص الضرب الداخلي

يمتلك الضرب الداخلي العديد من الخصائص المفيدة، بما في ذلك:

التناظر: الضرب الداخلي متماثل، أي أن:

“`

a · b = b · a

“`

التوزيعية: الضرب الداخلي موزع بالنسبة لجمع المتجهات، أي أن:

“`

a · (b + c) = a · b + a · c

“`

الخطية: الضرب الداخلي خطي بالنسبة لعامل سلمي، أي أن:

“`

(ca) · b = c(a · b)

“`

يُعد الضرب الداخلي أداة قوية تُستخدم في مجموعة واسعة من التطبيقات. من خلال فهم متى يكون ناتج الضرب الداخلي سالبًا أو موجبًا أو صفريًا، يمكن للطلاب والباحثين استخدام هذه الأداة بشكل فعال لحل مجموعة متنوعة من المشاكل.